§21 向量的内积与欧氏空间
一、 与欧氏空间
几何空间是抽象线性空间的一个最基本的模型，向量的度量性质是几何空间中最基本的研究对象。在§ 11 研究空间向量的数量积、向量积和混合积的基础上，我们要把空间向量的数量积概念推广到一般的线性空间上，进而研究线性空间的度量性质。在这一节里，我们总假设 V 是实数域R 上的线性空间。
定义21.1
在V
上定义代数运算，记为（
，）：V
×V
→R
,
即对任意的
V
，
R,
并且对任意的
V
及k
R
满足下述条件：
（1
）对称性（
）=(
);
（2
）
线性性 (
) =(
) +(
) , (k
)= k(
);
（3
）正定性(
)
≥0
，等号成立当且仅当
.=0
那么代数运算（ ，）称为上一个内积， V 称为欧氏空间 .
定义21.2
设α是欧氏空间
V
中任意的向量，非负实数
称为向量α的长度，记为
||
α||
，特别，把长度为
1
的的向量称为单位向量。
与§11 一样可以证明下面的定理。
定理21.1
设V
是一个欧氏空间，对任意的
∈
V
及k
∈
R
,
那么
（1)
||
||
≥0
，等号成立当且仅当
＝0
;
(2 ) ||k
|| = k ||
|| ;
(3) |(
) |
≤ ||
||
|| ,
等号成立当且仅当与
线性相关
（称为柯西--
布涅雅科夫斯基不等式
）;
(4) ||
||
≤ ||
|| + ||
||
（称为三角不等式）
.
定义21.3
在欧氏空间V
中,
如果两个向量与
，
的内积(
,
) =0,
那么称
与
正交,
记为
⊥
.
显然, 只有零向量才于它自身正交 , 它也与中任意一个向量正交 .
二、标准正交基与正交阵
定义 21.4 欧氏空间Ｖ中一个两两正交的非零向量组称为正交向量组 .
我们规定由单个非零向量
组成的向量组是个正交向量组
.
定理
21.2
设
是欧氏空间Ｖ的一个正交向量组，那么
线性无关.
证明 设有实数
使
两边分别与
(i=1,2,
……，r)
作内积，并利用内积的线性，得
但是
是两两正交的非零向量组，上述等式可写成
且
，因此
＝0
这表明
线性无关。
注意到n 维线性空间V 中至多只有个 n 线性无关的向量，所以在 n 维欧氏空间中，任意一个正交向量组至多只有 n 个两两正交的非零向量，因此任意 n 个向量构成一个正交向量组时，它们一定成为 V 的一组基，通常称为 V 的一个正交基。
定义
21. 5
在n
维欧氏空间V
中,
如果正交基
中的每个向量
都是单位向量，那么称
V
的这个基为标准正交基。
定理
21. 3
(Gram
-Schmidt
正交化过程）设
V
是欧氏空间，
是一组线性无关的向量，那么取
β1 = α 1
β2=α 2 -
β1
............
β r = α r -
β1 -....... -
βr-1
得到的向量
是一个正交的向量组，并且与向量组
等价。
定义 21.6 如果实数域 R 上n 阶矩阵A 满足
ATA=E ( 即A-1=A T )
那么A 称为正交阵。
显然，正交阵的行列式只能是 1 或-1 ，并且A 是正交阵当且仅当 A 的列向量组成 Rn 的一个标准正交基。
设A
是n
阶正交矩阵，对任意的
Rn
，A
,A
Rn
并且有
(Aα,Aβ)=(Aα)T(Aβ)=.......=(α,β) ,
||Aα|| =
=
=||α||
因此由正交阵 A 定义的R n 上线性变换，它保持了 Rn 中向量的内积不变，从而保持 Rn 中向量的长度不变，我们称这样的线性变换为正交变换。