§ 3   可逆矩阵

一、 可逆矩阵的定义及性质

       定义 3.1   设A ∈Mn （F ）, 若存在同阶矩阵 B ，使AB=BA=E ，则称A 为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵，简称为 A 的逆，记为   B= A^-1 。

如果A 是可逆矩阵，那么 A 的逆是唯一的。这是因为当 B ，C 都是A 的逆时，有

           AB=BA=E=AC=CA ，

           B=BE=B （AC ）= （BAC=EC=C 。

可逆矩阵的性质：

1 、   =A  ；

2 、 如果A 可逆，数λ≠ 0 ，那么 ( A)^-1= A^-1 ；

3 、 如果A 可逆，那么,A ^T 也可逆，而且 ( A^T )^-1=( A^-1)^T ；

4 、 如果A ，B 皆可逆，那么 AB 也可逆，且(AB) ^-1=B^-1A^-1           。

两个n 阶矩阵A 与B 的乘积AB=E 时，一定有BA=E ，从而A ，B 互为逆矩阵。

二、  矩阵的标准形

定义3.2    如果矩阵A 经过有限次行（列）初等变换变为矩阵 B ，就称A 行（列）等价于 B 。如果矩阵A 经过有限次初等变换变为 B ，就称矩阵A 等价于矩阵B ，记为    。

    矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律：

    1 自反律      ；

    2 对称律    如果 那么 ；

    3 传递律    如果  ， ，那么， 。

在数学中，把具有上述三条规律的关系称为等价关系。因此矩阵的等价是一种等价关系。

定义3.3    一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。

定理3.2    任何一个矩阵 A 都行等价于一个阶梯形矩阵。

定义3.4    一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是 1 ，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。

定理3.3    任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。

定理3.4    任何一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似的矩阵：   =  ,

1 ≤r ≤min(m,n), 它称为矩阵A 的标准形。

因此每个矩阵 A 与它的标准形等价。

推论3.5    任意一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ） ，一定存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使

PAQ=    ，

其中  ，   是A 的标准形。

推论3.6    设A ，B ∈Mm × n （F ）,A 与B 等价的充要条件是 AB 有相同的标准形。

三  用行初等变换求逆矩阵

定理3.7    设A 为n 阶矩阵，下列叙述等价：

1 、 A 是可逆阵；

2 、 A 行等价于单位阵 E ；

3  、A 可表示为一些初等矩阵的乘积。

四  矩阵方程

当A 可逆时可用矩阵的逆求解矩阵方程 AX=B 。设A 为n 阶可逆阵，X    ∈ Mm × n （F ）, B ∈Mm × n （F ） , 则对AX=B 两边左乘A ^-1 ，有X= A^-1B 。由于A ^-1 （A ，B ）= （E ，A^-1 B ）而       A^-1 可表示为一些初等矩阵的乘积，所以把分块矩阵（ A ，B ）进行行初等变换时，在把子块 A 变为E 的同时，子块 B 也就变为 A^-1 B ，这就是要求的 X 。当然也可以有 A 先求出A ^-1 ，再作矩阵乘法 A^-1B 。

在解矩阵方程 XA=B 时，则要右乘 A^-1 ，既X=B A^-1 。或者通过解方程 A^TX ^T = B^T 。先求出X ^T ，然后就可以求出 X 。

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